Disciplina: Matemática Aplicada à Educação - CURSO DE PADAGOGIA

Disciplina: Matemática Aplicada à Educação

Profº MsC: Leandro Ramos Furtado

Carga Horária Semestral: 40           Semestre do Curso: 2º

1 - Ementa (sumário resumo)

Matemática: história e importância das aplicações no campo educacional. O método matemático. Educação matemática. Conceitos fundamentais da matemática. A matemática no processo de ensino-aprendizagem. Metodologia de ensino da matemática. A importância da matemática para a formação do cidadão.

2 - Objetivo Geral

▼Esta disciplina está inserida no Curso de Pedagogia para contribuir no desenvolvimento das seguintes competências e habilidades dos Pedagogos.

- Atuar em diferentes contextos da prática profissional, escolares (creches, escolas, apoio escolar) ou não-escolares (empresas, área da saúde, instituições sociais).

- Pensar criticamente o processo educativo em suas dimensões: ética, cultural, política e social.

- Elaborar projetos e trabalhos científicos que contribuam para o desenvolvimento das concepções científico-educacionais.

- Adequar-se a situações novas de forma flexível e reflexiva, avaliando as implicações de suas escolhas, construindo verificações e autocorrigindo-se quando julgar necessário.

-Fazer uso dos recursos tecnológicos na produção, na organização e na transmissão dos conhecimentos.

- Trabalhar em equipe, com ênfase na formação da identidade do professor e do gestor.

- Planejar, organizar, realizar, gerir e avaliar situações de ensino-aprendizagem e de gestão.

- Adequar objetivos, conteúdos e metodologias específicas das diferentes áreas à diversidade dos alunos e à promoção da qualidade da educação.

- Localizar e buscar soluções que revertam as dificuldades diagnosticadas no exercício cotidiano da atuação profissional.

A disciplina Matemática, especificamente, pretende possibilitar a compreensão de conceitos básicos necessários para que o aluno possa aplicar corretamente as técnicas matemáticas em seus trabalhos e sinta-se em condições de analisar com segurança as pesquisas e os estudos realizados no campo educacional.

3 - Objetivos Específicos

▼Os conteúdos a serem estudados na respectiva disciplina pretendem levar o graduando a:

- Aprender a coletar dados diante de um fenômeno que se queira analisar;

- Interpretar, apurar e catalogar dados matemáticos;

- Ter condições de realizar cálculos matemáticos corretos através dos conceitos trabalhados no conteúdo abaixo especificado;

- Aprender conceitos fundamentais no uso da matemática;

- Ter condições de apresentar, analisar e tirar conclusões de fenômenos matemáticos;

- Realizar pesquisas no campo educacional e/ou outras baseando-se no método matemático.

4 - Conteúdo Programático

Unidade I - A história da Matemática

1. Egito

2. Mesopotâmia

3. Grécia

4. Novo Século

Unidade II – Educação Matemática

1. Correntes da Educação Matemática

2. Resolução de problemas

3. Matemática: origem, características e perspectivas

Unidade III – A matemática e processo de ensino-aprendizagem

1. Por que ensinar matemática? Para quê?

2. O ensino da matemática deve levar o aluno a...

3. Quais habilidades e competências devem ser desenvolvidas no ensino da matemática?

4. Metodologias para ensinar matemática

5. Como deve ocorrer o processo avaliativo no ensino da matemática?

6. A importância da matemática na formação do cidadão.

5 - Metodologia de Ensino

A metodologia utilizada pelo docente para a organização da mediação entre o sujeito (graduando) e o objeto de conhecimento (conteúdos da disciplina) se dará por meio dos seguintes procedimentos:

- Tempestade de idéias (conhecimento inicial do aluno sobre o conteúdo).

- Aulas expositivas dialogadas.

- Leituras orientadas de textos selecionados.

- Trabalhos individuais e/ou grupais.

- Pesquisas sobre o tema.

- Seminários.

- Palestras.

- Discussões e debates dirigidos.

- Observações da realidade.

- Aulas Práticas.

- Tarefas de assimilação de conteúdos.

- Análise de vídeos ou filmes.

6 - Recursos Didáticos

Lousa. Data-show. Equipamentos de reprodução de vídeo

7 - Sistema de Avaliação

O processo de avaliação obedece ao Sistema Formal de Avaliação Discente da instituição, a partir do qual, a avaliação do rendimento escolar é composta basicamente por pelos seguintes instrumentos: prova, seminário e/ou trabalho.

Levar-se-á em consideração a auto-avaliação e a observação docente acerca da assiduidade, pontualidade, interesse, criatividade, pesquisa, envolvimento, e participação discente.

                                    A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

O que se pretende discutir é a importância, a função, a necessidade da matemática na nossa vida. Como surgiram os números? A matemática que conhecemos hoje, o cálculo, a álgebra, de algum lugar, em alguma época surgiram. Não se pode datar o exato aparecimento da matemática, mas sabe-se que suas noções básicas são a escrita, pois, a linguagem de sinais é bem mais fácil de ser concretizada do que a construção de frases bem moduladas que expressem idéias.

O que demandou no homem a necessidade de se expressar matematicamente? A necessidade prática ou a pura abstração?

Alguns estudiosos defendem que a matemática teria surgido de necessidades práticas urgentes do homem, como a demarcação de áreas, o levantamento de seu rebanho, partindo para a valoração de objetos (dinheiro). Outros já definiam que a matemática teria surgido do lazer de uma classe de sacerdotes ou de rituais religiosos.

O fato é que a matemática é presente em nosso dia a dia de tal forma que não podemos, não devemos e, certamente, não queremos nos distanciar dela.

As funções mais rotineiras de nossa vida têm sido realizadas por computadores: desde uma conta, até o controle de nosso dinheiro no banco, nosso pagamento de salário, e muitas outras atividades são controladas por máquinas que são por sua vez, apoiadas na matemática.

Existe uma tendência cada vez mais crescente da "matematização do mundo". Parece mesmo ser de senso comum que todo e qualquer problema cotidiano possa ser equacionado. Ou seja, será que tudo na nossa vida pode ser expresso como ax + by = c ou outra equação ou inequação qualquer?

E, voltando ao assunto, de onde vêm os a, b, c, x e y? Quem os inventou e por que?

Os documentos históricos encontrados pela arqueologia que fornecem um pouco de informação a respeito das origens da matemática começam com os egípcios.

Costumava-se definir a matemática como a ciência do número e grandeza. Isso já não é válido, pois certamente a matemática é muito mais do que números e grandezas. Hoje a matemática que conhecemos é intelectualmente sofisticada. Mas desde os primeiros tempos da raça humana, os conceitos de número, grandeza e forma ocupam a mente e formam a base do raciocínio matemático. Originalmente, a matemática preocupava-se com o mundo que nos é perceptível aos olhos, como parte da vida cotidiana do homem. Pode-se inclusive tentar relacionar a persistência da raça humana no mundo com o desenvolvimento matemático, se assumirmos válido o princípio da "sobrevivência do mais apto".

No princípio, as relações de grandeza estavam relacionadas mais com contrastes do que com semelhanças - a diferença entre um animal e outro, os diferentes tamanhos de um peixe, a forma redonda da lua e a retilínea de um pinheiro. Acredita-se que o conjunto dessas informações imprecisas deve ter dado origem a pensamentos de analogias, e aí começa a nascer a matemática.

A percepção das duas mãos, das duas orelhas, narinas, propriedade abstrata que chamamos número, foi um grande passo no caminho da matemática moderna. A probabilidade de que isso tenha surgido de um só indivíduo é pouca. É mais provável que tenha surgido de um processo gradual e que pode datar de 300.000 anos, tanto quanto o descobrimento do fogo.

O desenvolvimento gradual do conceito de número pode ser rastreado em algumas línguas, o grego inclusive, que conservaram na sua gramática uma distinção entre um e dois e mais de dois. Os antepassados só contavam até dois. Qualquer quantidade maior que isso era dito como muitos. Resquícios desse comportamento são visíveis em alguns povos primitivos que ainda contam de dois em dois. Finalmente surgiu a necessidade de expressar os números através de sinais. Os dedos das mãos e dos pés forneciam uma alternativa para indicar um número até 20. Como complemento podia-se usar pedras. Começando a noção de relação de conjuntos: aquilo que se deseja contar, com aquilo que serve de unidade.

O sistema decimal que hoje utilizamos é segundo Arquimedes, apenas um incidente anatômico, pois se baseia no número de dedos das mãos e pés. Como pedras são efêmeras para se registrar números, o homem pré-histórico utilizava, às vezes, marcas ou riscos num bastão ou pedaço de osso. Peças arqueológicas são uma importante fonte de informação sobre o desenvolvimento das noções de números e indicam que essas idéias são mais antigas que os processos tecnológicos como o uso de metais ou de veículos com rodas.

Existem indicadores na língua a respeito das idéias do homem sobre número, como no caso do número onze e doze. Eleven significava originalmente um a mais e twelve, dois a mais, ficando clara a adoção do sistema decimal. Mais tarde, gradativamente, foram surgindo palavras que exprimiam idéias numéricas. Sinais para números provavelmente precederam as palavras para números (é mais fácil fazer incisões num bastão do que estabelecer uma frase para identificar um número).

A tendência da linguagem de se desenvolver do concreto para o abstrato pode ser percebida em muitas das medidas de comprimento em uso atualmente: a altura de um cavalo é medida em palmos e as palavras pé e ell (cotovelo) também derivaram de partes do corpo.

Ainda não é possível fazer afirmações a respeito da idade da matemática, tanto aritmética quanto geométrica. Heródo e Aristóteles apresentaram suas teorias. O primeiro sugerindo que a geometria se originou no Egito, devido à necessidade prática de se fazer medidas de terra a cada inundação causada pela cheia do Nilo. Já Aristóteles sugeriu que a geometria teria surgido de uma classe de sacerdotes do Egito, como lazer. O certo é que o homem neolítico já possuía noções que deram inicio à geometria, o que pode ser evidenciado pelas peças arqueológicas descobertas com desenhos geométricos, com relações de congruência e simetria.

De fato o que parece evidente é que a matemática tenha surgido muito antes das primeiras civilizações e é desnecessário e sujeito a erros grotescos, tentarmos datar ou dar um motivo específico para o surgimento de cada fase. A geometria pode ter se desenvolvido da necessidade de demarcação de espaços, do gosto por formas precisas, de rituais primitivos, ou seja, vários seriam os caminhos para levar ao início dessa habilidade do homem.

EGITO

Antes do quarto milênio a.C. um forma primitiva de escrita estava em uso na Mesopotâmia. Num processo gradual evoluíram os primitivos registros pictográficos para uma ordem linear de símbolos mais simples. Surge a escrita cuneiforme, que dava significado pelos arranjos das marcas em cunha.

Foi encontrada uma rocha A Pedra Rosetta, em 1799, egípcia, que trouxe muitas informações a respeito dos números. Encontrou-se uma numeração hieroglífica que se baseava no sistema decimal. Determinados símbolos indicavam valores de 10, 100, 1.000, 10.000 e 100.000. Por repetição desses símbolos, escrevia-se o número desejado.

As pirâmides egípcias exibiam tão alto grau de precisão na construção e orientação que lendas surgiram em torno delas. A sugestão de que a razão do perímetro da base da pirâmide Queops, para a altura foi conscientemente posta no valor 2p está em desacordo com o que se sabe da geometria dos egípcios.

Aos egípcios também podemos atribuir a autoria do primeiro calendário. Tendo-se interessado pela observação dos astros, concluíram que a inundação anual do Nilo ocorria pouco depois que a estrela Siriús se levantava a leste, logo antes do sol. Assim, como essas aparições da Siriús ocorriam em intervalos de 365 dias, os egípcios estabeleceram um calendário solar feito de doze meses de trinta dias cada um e mais cinco dias de festa. Ocorre que esse ano oficial era curto demais por um quarto de dia e foram necessárias correções, pois a cada quatro anos, as estações avançavam em um dia.

Outra fonte de informação sobre a matemática antiga, além dos escritos hieroglíficos, são alguns papiros egípcios de mais de três milênios de idade.

O maior deles, conhecido como Papiro de Rhind ou Papiro Ahmes usa uma escrita chamada hierática, diferente da hieroglífica.

A base ainda é o sistema decimal, mas já são adotados sinais especiais para representar dígitos e múltiplos de potências de dez. O número quatro, por exemplo, não é mais representado com quatro barras verticais, mas com uma barra horizontal. E assim por diante com outros números.

O homem da Idade da Pedra não tinha necessidade de usar frações, pois podia tomar como unidade a menor porção possível. Mas as culturas posteriores, Idade do Bronze, começaram a sentir necessidade de trabalhar com frações. Existe uma notação especial para uma fração na escrita hieroglífica e hierática.

Os egípcios trabalhavam bem com a fração 2/3, para a qual tinham um sinal hierático. Tanto que para achar um terço de um número, primeiro achavam 2/3 e tomavam a metade disso. Conheciam usavam o fato de que dois terços da fração unitária 1/p ser a soma de duas frações unitárias 1/2p e 1/6p, e sabiam que o dobro da fração 1/2p é a fração 1/p. É interessante verificar o modo como os egípcios encaravam frações de forma geral m/n. Não como uma "coisa" elementar, mas como parte de um processo incompleto. Por exemplo, a fração 3/5, para nós irredutível, era pensada como soma de três frações unitárias 1/3 + 1/5 + 1/15.

O papiro de Rhind fornece uma tabela para a transformação de frações gerais em somas de frações unitárias. Começa fornecendo 2/n como soma de frações unitárias, para todos os valores ímpares de n de 5 a 101. E assim outros equivalentes. O último item da tabela decompõe 2/101 em 1/101 mais 1/202 mais 1/303 mais 1/606. Isso mostra uma habilidade aritmética que é difícil de encontrar mesmo atualmente, apesar de nossos recursos técnicos e tecnológicos.

O tipo de combinação de frações escolhidas não é explicado. O porquê de uma certa combinação e não outra, fica sem resposta. O mais curioso que é saber como se desenvolve na mente, no raciocínio do escriba, o método para combinar as frações unitárias, permanece um mistério. Ahmes começa sua obra garantindo que ela "forneceria um estudo completo e minucioso de todas as coisas... e o conhecimento de todos os segredos", por isso a parte principal do papiro que se segue às tabelas é composta de oitenta e quatro problemas sobre questões variadas. Os problemas geralmente usam cerveja, pão e coisas do cotidiano para se expressar.

A operação aritmética fundamental no Egito era a adição. A multiplicação e divisão eram efetuadas no tempo de Ahmes por sucessivas duplações. Um exemplo: a multiplicação de 69 por 19 seria efetuada somando 69 com ele mesmo para obter 138, depois adicionando a si próprio para alcançar 276, novamente duplicando para obter 552 e mais uma vez, dando 1104, que é dezesseis vezes 69. Como 19 = 16 + 2 + 1, o resultado da multiplicação de 69 por 19 é 1104 + 138 + 69, ou seja, 1311.

Na divisão, inverte-se o processo de "duplação", e o divisor é dobrado sucessivamente em vez do multiplicando. Identifica-se, também, em alguns problemas o uso da propriedade de comutatividade da multiplicação. No papiro Ahmes encontram-se ainda muitos problemas que mostram conhecimento de manipulações equivalentes a regra de três.

A maioria dos problemas são do tipo "aritmético", mas já aparecem alguns do tipo "algébrico", em que pede-se a solução para uma incógnita numa equação linear da forma x + ax = b ou x + ax + bx = c, onde a, b e c são conhecidos e x é a incógnita. Não há comprovações de que os egípcios conheciam o Teorema de Pitágoras, mas existem problemas geométricos no papiro Ahmes, que mostram que tinham conhecimento de como calcular a área de um triângulo isósceles, tratando-o como dois triângulos retângulos, deslocando-se um deles de modo que os dois juntos formam um retângulo.

Começa a ser utilizada uma teoria sobre congruência e já são utilizadas provas matemáticas. O problema com a geometria dos egípcios é que lhes faltava uma clara distinção entre o que era exato e o que era aproximação. No entanto, a regra dos egípcios para achar a área do círculo é considerada um dos maiores sucessos da época: Ahmes assume que a área de um campo circular com diâmetro de nove unidades é a mesma de um quadrado com lado de oito unidades. Significa que o valor encontrado para p (atualmente a área do círculo é dada por p r2) é 31/6. Mas mesmo assim não dá sinais de saber que a área do círculo e do quadrado não são exatamente iguais.

Não se conhecem teoremas ou demonstrações formais da matemática egípcia, mas as comparações sobre perímetros, áreas de círculos e quadrados são as primeiras afirmações precisas da história a respeito de figuras curvilíneas.

Apesar de tudo isso os egípcios não evoluíram muito em sua matemática. A matemática de Ahmes era a de seus antepassados. A vida estável, tranqüila do povo egípcio parece não ter motivado seus progressos na área do cálculo.

A grande maioria dos problemas apresentados por Ahmes e em outros papiros encontrados daquele tempo, dizem mais respeito a aritmética e geometria práticas. Não houve desenvolvimento de teorias formais. Cada solução era encontrada especificamente para determinado problema.

Contudo historiadores dizem que a matemática grega deve ter se baseado na dos egípcios.

A Mesopotâmia oferece mais detalhes do desenvolvimento da Matemática.

MESOPOTÂMIA

As civilizações antigas da Mesopotâmia são comumente chamadas de babilônicas, apesar de que a cidade de Babilônia não foi o centro de cultura do vale Mesopotâmico.

A região sofreu diversas invasões de outros povos, mas que ao invés de interferirem negativamente em sua cultura, ao contrário aprenderam e adotaram muitos conhecimentos dos mesopotâmicos.

A escrita era a cuneiforme, que talvez tenha surgido até mesmo antes da hieroglífica dos egípcios. O fato é que as cerâmicas, tabuletas, com escrita ´

9- fornecem muito mais informação dos que os papiros egípcios devido a sua conservação.

Ao contrário da maioria das civilizações o sistema numérico mesopotâmico tinha como base o valor sessenta. Acredita-se que o sistema de base sessenta tenha sido usado por ser possível sua subdivisão em metades, quartos, quintos, sextos, décimos, etc...até dez divisões são possíveis. Até hoje, o sucesso desse sistema se reflete em nossas unidades de tempo e medida de ângulos.

Aos babilônios se deve a invenção do sistema posicional. Com apenas seus símbolos para unidades e dezenas, podiam representar qualquer número, por maior que fosse, por repetição e mudança de posição. Este é o mesmo princípio de nosso sistema numeral.

Nosso número 222 usa o mesmo algarismo três vezes, com significado diferente de cada vez: uma vez vale duas unidades, outra vale duas dezenas e a última duas centenas (duas vezes o quadrado da base dez).

Quando escreviam , separando claramente grupos de dois símbolos, entendiam que o primeiro grupo a direita representava duas unidades, o segundo o dobro de suas base (60) e o terceiro, o dobro do quadrado de sua base. Portanto esse numeral indicava 2(60)2 + 2(60) + 2 = 7322 (em nossa notação). Os babilônios, a principio parecem não ter tido um modo de representar o vazio (zero). Não havia notação para zero, embora às vezes deixassem um espaço em branco para indicar zero. Isso confundia as formas escritas para alguns números como 22 e 202. Criou-se, mais tarde, um símbolo para zero, mas que só era usado em posições intermediárias.

A superioridade matemática dos mesopotâmicos sobre os egípcios está em que aqueles estenderam a notação posicional às frações.

O que significa que a notação decimal das frações que conhecemos já era por eles conhecida, sendo que foram capazes de calcular a raiz quadrada de dois com até três casas sexagesimais.

Já manipulavam bem, equações usando palavras como incógnitas, num sentido abstrato. Conheciam bem o processo de fatoração.

A resolução de equações quadráticas e cúbicas também os coloca em destaque com relação à matemática dos egípcios. Este tipo de resolução é um feito notável, admirável não tanto pelo alto nível de habilidade técnica quanto pela maturidade e flexibilidade dos conceitos algébricos envolvidos. E por que se espantar com seu alto nível e amadurecimento se foi deles que aprendemos o que sabemos e que nos autoriza a elogiá-los?

O que certamente nos dá essa autorização é o nosso simbolismo algébrico, sem o qual não podemos ter certeza de entender o raciocínio da matemática primitiva.

Assim, para nós, é fácil ver que (ax)3 + (ax)2 = b é essencialmente o mesmo tipo de equação que y3 + y2 = b, mas reconhecer isso sem nossa notação é uma realização de significado muito maior para o desenvolvimento da matemática que até mesmo o princípio posicional na aritmética.

Algum desenvolvimento geométrico pode ser constatado com tabuletas que indicavam relações entre os lados de um triângulo. Apesar de não se poder ter certeza, acredita-se que os Mesopotâmicos conheciam também as fórmulas gerais de progressão geométrica e a soma dos n primeiros quadrados perfeitos. No entanto, como nos papiros egípcios, as tabuletas Mesopotâmicas não descreviam os procedimentos mas apenas davam as questões e os resultados.

O Teorema de Pitágoras não se encontra expresso em nenhuma tabuleta ou lista, mas certamente era conhecido e usado e não só em triângulos isósceles. Foi encontrado um problema em que uma escada ou prancha de comprimento 0;30 (1/2 na nossa notação) está apoiada a uma parede; a questão é de quanto a extremidade inferior se afastará da parede se a superior escorregar para baixo de uma distância de 0;6 unidades? A resposta é encontrada corretamente usando o teorema de Pitágoras.

Toda a matemática desenvolvida por babilônios e egípcios dá a entender que se originava de questões concretas, imediatas. Mas, mesmo assim, há alguns indícios de abstração e de matemática por recreação.

GRÉCIA

Nos documentos históricos sobre a matemática grega, como já descreveu Wallis, não se encontra indicações da natureza do raciocínio utilizado para se alcançar os resultados. Tudo é expresso de forma limpa, direta, perfeita, o que não condiz, é claro, com a realidade na solução de problemas. Segundo Wallis, sobre Arquimedes: "é como se seu propósito fosse apagar os rastros de suas investigações, como se ele tivesse negado à posteridade o segredo de seus métodos de inquirir enquanto desejava extorquir deles anuência para os seus resultados".

Considera-se que a matemática grega começou com Tales (c. 585 a.C.) e com Pitágoras (c.550 a.C.). As informações sobre os matemáticos daquele tempo até Platão (c. 347 a.C.) foram obtidas de testemunhos, de depoimentos que não forneciam os métodos e as provas das conquistas alcançadas.

Tales é considerado o primeiro matemático, pois lhe são atribuídas descobertas matemáticas específicas. Sabe-se que Tales viajou ao Egito e Babilônia onde teria aprendido que um ângulo inscrito num semicírculo é reto. No entanto, atribui-se a ele a demonstração desse teorema e de outros quatro da geometria. Por isso Tales foi considerado o originador da organização dedutiva da geometria.

Credita-se aos gregos, com segurança, a introdução da estrutura lógica à geometria, mas não se sabe se devido à Tales ou a outros depois dele.

Outro personagem de destaque no mundo grego é Pitágoras. Este não era só um matemático, mas um filósofo, envolvido especialmente com religião e até mesmo política. Contemporâneos de Pitágoras são Buda, Confúcio e Lao-Tse, caracterizando, portanto, esse tempo como de intensa atividade religiosa.

Pitágoras, de volta do Egito e Babilônia (como Tales), fundou uma sociedade secreta que tinha base matemática e filosófica. Não se costuma falar em descobertas de Pitágoras, mas sim dos pitagóricos, pois a sociedade por ele fundada, além de secreta tinha por norma que o conhecimento era comunitário, não sendo atribuído a um autor apenas. Uma característica notável na escola pitagórica era a confiança no estudo da matemática e da filosofia como base moral para a conduta.

As palavras filosofia ("amor à sabedoria") e matemática ("o que é aprendido"), supõe-se terem sido criadas pelo próprio Pitágoras.

Os pitagóricos desempenharam um importante papel na história da matemática porque mudaram radicalmente a concepção egípcia e babilônia. A matemática, para os pitagóricos era incluída na definição de filosofia, os rituais a que eram submetidos tinham muito de matemática. Para os egípcios e babilônios a aritmética tinha muito mais a ver com situações práticas e concretas.

Segundo Aristóteles, para os pitagóricos o número significava matéria. Assim, eles chamavam um ponto de um, uma reta de dois, uma superfície de três e um sólido de quatro. A soma de pontos gerava retas, a de retas, superfícies e a de superfícies, sólidos. De maneira que com seus um, dois, três e quatro, poderiam construir o universo! O número 10 era especial para os pitagóricos, pela crença conhecida como tetractys (conjunto de quatro). Pitágoras dizia que contar 1, 2, 3, até 4 era igual a 10, um triângulo perfeito "nosso juramento": "ele que tem confiado a tetractys à nossa alma, a fonte e a raiz da natureza eterna".

Realmente, os pitagóricos revolucionaram o pensamento matemático, pela evidente característica filosófica que lhe atribuíram.

No século III a.C. estabeleceu-se a estrutura axiomática da matemática, com Euclides, que unificou uma coleção completa de teoremas isolados num sistema simples e dedutivo. Baseando-se em postulados iniciais, definições e axiomas.

Assim começa a real abstração matemática, discutindo-se a existência ou não do infinito, os números infinitesimais, os paradoxos de Zenon, e as relações do universo.

 

NOVO SÉCULO

"A matemática surgiu da auto-alienação do espírito humano. A alma não consegue se encontrar na matemática. O espírito humano reside nas instituições humanas". Esta frase de Giovanni Battista Vico (1668-1744) vem de encontro com o pensamento Pitagórico. Discordando que a matemática seja natural do ser humano. Analisando agora a abordagem conhecida como matemática aplicada: o impacto causado pela matemática no mundo e sua utilização em relação ao mundo da natureza e das atividades humanas.

Essa abordagem é tão difundida que hoje se fala em matematização do mundo. As ciências naturais, como a física, a astrofísica e a química, em seus aspectos teóricos estão totalmente matematizados. De fato tornou-se quase uma condição inicial, para o reconhecimento de uma teoria científica que ela possa ser expressa em linguagem matemática. É também um ato de fé, a suposição de que uma matemática apropriada possa ser desenvolvida sempre que a disponível for inadequada para descrever algum fenômeno observado.

Desde a biologia até psicologia, sociologia, economia, tudo pode ser tratado em termos matemáticos. O comportamento de um rato num labirinto pode ser expresso numa matriz. Com a ajuda do computador essas tarefas tornam-se corriqueiras e até mesmo desafios para o homem. E tudo aquilo que pode ser executado num computador pressupõe um suporte matemático, como por exemplo, o fractal representado nesta página.

Tentativas foram feitas para produzir uma definição matemática da vida, nos termos da Teoria da Complexidade. A matemática, como Descartes sonhou, tornou-se o agente unificador de um mundo racionalizado. Mas realmente tudo pode ser matematizado?

Quais são os limites da matemática? As emoções, sentimentos, raiva, amor, solidão, etc. Isso não pode ser expresso por equações e incógnitas. Os que tentaram expressar a psicologia e sociologia através de estatísticas tentando quantificar a mente humana falharam.

A vida interior do indivíduo e da sociedade não está descrita em nenhuma fórmula, desde a literatura, a música, a política, as marés e correntes da história, as tolices que aparecem nos jornais, tudo isso fica fora do computador, fora de qualquer equação ou inequação. Isso é, sem dúvida, uma coisa boa.

A matemática nos é essencial, mas não podemos perder de vista a intuição, o sentimento, a sociabilidade.

Como em todas as ciências, continuam as pesquisas em matemática. Um dos pontos mais importantes de estudo e ensino, encontra-se no Instituto de Ciências Matemáticas de São Carlos - ICMSC - da Universidade de São Paulo.

                                  EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Apostila baseada no livro  da Professora Marlene Aparecida Viana Abreu

A Educação Matemática também chamada de Didática Matemática (em países europeus)¹ é o estudo das relações de ensino e aprendizagem de Matemática. Está na fronteira entre a Matemática, a Pedagogia e a Psicologia. Desde o início do século XX professores de matemática se reúnem para pensar o ensino dessa matéria nas escolas. A partir da década de 1950, a Unesco organiza congressos sobre educação matemática.

E a partir da década de 1970 surge, inicialmente na França, a didática da matemática enquanto campo para a sistematização dos estudos a cerca do ensino da matemática. Os teóricos envolvidos defendiam que cada área de ensino deveria pensar em sua própria didática, reconhecendo que não poderia haver um campo de estudo único que atendesse as especificidades de ensino de cada campo do conhecimento.

A organização de campos de pesquisa na área dentro das universidades incentivou a criação de organizações de professores de matemática, que atualmente tem grande influência sobre a elaboração das diretrizes curriculares na área em diversos países.

A psicologia aparece como o campo do conhecimento científico que dá instrumentos para compreendermos os processos educativos. Nesse sentido as principais correntes da didática da matemática, sempre estiveram diretamente ligadas às diferentes tendências da psicologia.

CORRENTES DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Comportamentalista

Esta corrente associou o comportamento humano ao dos outros animais. Possui uma abordagem cartesiana, busca encontrar os elementos básicos do pensamento humano e seu comportamento. Thorndike, primeiro comportamentalista a pensar o ensino da matemática, entende a aprendizagem como uma série de conexões entre situações ou estímulo e resposta. E baseia-se em três leis fundamentais para a aprendizagem:

1.   Lei do efeito: uma conexão recém estabelecida tem sua força aumentada se acompanhada por uma sensação de satisfação; comportamento seguidos de consequencias positivas possivelmente se repetirão. Se o comportamento seguidos de consequencias negativas espera-se que a chance de comportamento se repetir diminua sensivelmente.  Exemplos: estimular, desestimular.

2.   Lei do exercício: quanto mais utilizada uma conexão, mais forte ela se torna.

3.   Lei da prontidão: parte da idéia de que as conexões podem ou não estar prontas para serem postas em prática, se uma conexão está pronta, seu uso gera satisfação, se não está, seu uso gera desconforto.

Gestaltista

A Gestalt é uma escola da psicologia, iniciada em 1910, que propõe uma abordagem holística do pensamento humano. Se baseia no pensamento de que a percepção humana não pode ser explicada apenas por estímulos isolados e que se processam de forma individualizada, mas que a ação existe na tentativa de encontrar o equilíbrio do organismo como um todo. A aprendizagem se liga a capacidade de compreender estruturas e não de decorar procedimentos.

Estruturalistas

Esta corrente aborda a aprendizagem como um processo ativo no qual o aluno infere princípios e regras e os testa. O aluno tem mais instrumentos para lidar com os determinados conhecimentos quando entende suas estruturas.

Baseia-se nos estágios do desenvolvimento infantil de Piaget e Bruner propõe três modos de organização do conhecimento, são os modos de representação; motor, icónico e simbólico:

1.   Representação motora: modo de representar acontecimentos passados através de uma resposta motora apropriada.

2.   Representação icónica: quando os objetos são concebidos na ausência de ação.

3.   Representação simbólica: consiste na tradução da experiências em termos de linguagem simbólica.

Construtivista

Baseado principalmente nas idéias de Piaget. Tem como proposta de que a mente é modelada como uma experiência organizativa de modo a lidar com um mundo real que não pode ser conhecido em si.

Envolve dois princípios:

1. o conhecimento é ativamente construído pelo sujeito cogniscente e não passivamente recebido do meio.

2. conhecer é um processo adaptativo que organiza o mundo experiencial de cada um, não descobre um mundo independente, pré-existente, exterior à mente do sujeito.

Acredita que cada ser humano constrói o significado para a linguagem que usa, no caso matemática, à medida que vai construindo o seu mundo experiencial.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

A metodologia de resolução de problemas em educação matemática visa tirar o aluno de sua tradicional postura passiva em sala de aula, para uma postura ativa e interessada e desconstruir a noção de que a matemática é algo pronto e acabado. Problema, segundo autores como Lourdes Onuchic, é algo para o qual não se tem solução imediata, mas se está interessado em buscar uma.

A motivação em resolver problemas permite um processo de investigação que delinea novas propriedades matemáticas. Na busca pela solução do problema novas situações se colocam, que instigam a curiosidade matemática, muitas vezes dormente em cada um de nós.

 

Modelagem

A modelagem matemática ou modelação tem suas raízes na Matemática Aplicada. A intenção geral da modelagem matemática é gerar condições para a aquisição de saberes em um ambiente de investigação. O método científico é o eixo sobre o qual a modelagem assenta. A observação dos fenômenos com o intuito de gerar um estado de dúvida e problematização é o ponto de partida para a construção de um modelo matemático que exprima as relações entre as grandezas observadas. A educação matemática através da modelagem visa motivar o aluno a passar para um estado ativo e crítico quanto ao seu cotidiano.

No contexto atual de globalização e de transformações nos mais diversos sentidos, a Educação tem a frente uma nova realidade a refletir sobre seu papel e propor novos rumos. As tecnologias de informação e comunicação vêm tomando espaço cada vez maior na sociedade, alterando de forma significativa os antigos paradigmas educacionais e disseminando novas concepções para o conhecimento humano. Neste contexto, a educação tem sido compreendida como um valor altamente desejado pelos diversos setores da sociedade e, freqüentemente, apontada como "estratégica na possibilidade de ser geradora de uma transformação que permita à sociedade superar todos os seus impasses", segundo (Barbosa, 2004). Que ainda descreve que: "... a educação, hoje, sofre grande pressão no sentido de sua transformação e enfrenta o desafio de ser repensada e de promover mudanças no seu papel, finalidade e inserção social".

Acompanhando estas transformações, seja de mudanças seja de dificuldades, e, buscando caminhar neste horizonte de nova tendência de estudo, os objetivos para o ensino da matemática têm buscado andar neste mesmo rumo, apesar de ser ainda uma área de estudo muito combatida e até desprezada por muitos, onde são inúmeros problemas que inviabilizam uma construção de um conhecimento mais "consistente" e "útil" por parte do aluno. Neste contexto de novas concepções da construção do conhecimento, a Educação Matemática como forma de propor uma nova formatação para o ensino da matemática, vem tomando espaço cada vez maior nesta conjuntura de mudanças, alterando de forma significativa os antigos paradigmas educacionais e disseminando novos entendimentos para o crescimento científico da matemática. Portanto, a Educação Matemática tem sido compreendida como um valor altamente desejado pelos diversos estudiosos e professores que buscam melhorar o contexto educacional e do ensino-aprendizagem e, freqüentemente, apontando estratégicas na possibilidade de serem geradas transformações que permitam que o ensino da matemática supere seus impasses.

A Educação Matemática busca fortalecer esta área de estudo e viabilizar ações pedagógicas que descreva atitudes de negociação como mecanismo de propor motivar, estimular, respeitar e desenvolver não somente uma ação de ensino e aprendizagem, mas, sim, uma interação que entrelaçam o elo entre o que vai ensinar ao que se deve ensinar, e por que não, para que ensinar. Assim, promover práticas pedagógicas mais próximas da realidade do aluno, coordenando planejamentos, conteúdos propostos e uma melhor interação na relação aluno/professor são mecanismos que a Educação Matemática busca propor numa essência colaborativa, que visualize coerência na contextualização de seu aprendizado e sua materialização de seus conteúdos, muitas vezes dentro das inovações do ensinar e aprender. Isto fica muitas vezes sendo questionado pelo contexto desta disciplina que por muitas vezes a relação professor/conteúdo/aluno não viabiliza uma forma lúdica, prazerosa ou significativa por parte do interesse e utilização do alunado. Desse modo, este novo paradigma do ensino da matemática coloque o professor com uma postura de educador do processo, onde o processo se caracteriza em colocar o elemento negociador (professor) de frente, olhando o aluno, o ensino e compartilhando a construção do aprendizado e as necessidades do educando.

Numa realidade de negociação na sala de aula a ação proposta pelo elemento professor no processo de ensino-aprendizagem se caracteriza em colocar clareza sobre as características do conhecimento desejado, e promover condições necessárias para uma aprendizagem significativa e de alcance com a interligação da relação conhecimento/realidade do dia-a-dia. Neste sentido, podemos perceber o quão fundamental é o papel do professor, pois é essencial que ele realize a mediação entre o ensino matemático, contextualizado e interdisciplinar, e os alunos que querem construir esse conhecimento mais sólido. Desse modo, (Piaget, 1974) coloca: "... é acima de tudo, através da interação com outros, combinando sua abordagem de realidade com a de outros que o indivíduo conhece a fundo novas abordagens". E, ainda segundo (Lévy, 1995): "... o professor não se apresenta como um elemento externo à rede de significações vivenciadas pelos estudantes: ele faz parte dela".

Nesse contexto, qualquer concepção transformadora do ensino da matemática deve passar por indagações sobre o que se está ensinando, seu significado, sua constituição, sua estrutura, a produção desse conhecimento, chegando-se à seguinte indagação: o que se está ensinando é realmente o ensino da Matemática, e atinge os objetivos maiores da Educação? (D'AMBROSIO, 2004).

Se cada conteúdo a ser abordado em sala de aula pudesse ser analisado minuciosamente, sob cada um desses aspectos, é provável que, além de uma mera transmissão de treinos mecânicos descontextualizados (CHAGAS, 2001) e, ainda, de uma forma de ensino tradicional, como se faz atualmente, se conseguiria chegar mais próximo a um processo de desenvolvimento de aprendizagem, em que os conceitos ocorreriam pela interação dos alunos com o conhecimento (CHAGAS, 2001).

É lógico que, por essas e outras razões, os educadores devem modificar alguns aspectos do ensino da matemática, pois, para Goldberg (1998), "educar é transformar", mesmo que de forma gradativa e sugestiva, mas acompanhando os avanços, pois um dos caminhos que enseja a possibilidade de gerar maior produtividade no processo ensino-aprendizagem pode estar na diversificação das formas de abordagem de cada tema a ser apresentado, a partir das quais ocorre a adaptação ao nível de aprofundamento desejado e que melhor se encaixe na aprendizagem.

Este artigo adéqua elementos que descrevem fatores que possam desenvolver reflexões nas práticas educativas para o ensino da matemática, reconhecendo que o puro "fazer" matemático não mais cabe para quem ensina, para quem aprende e até para quem utiliza a área da matemática com fonte de conhecimento e aprendizagem. Tratar o ensino da matemática como Educação Matemática é promover um desequilíbrio nesta realidade tão distante do contexto do aluno e de seu ensino e aprendizagem, e, assim, propondo novos paradigmas através de mecanismos mais consistentes na aprendizagem trazendo o elemento negociação como instrumento de construção no educar da matemática. Neste contexto de negociação, o professor necessita se posicionar como um negociador deste processo e desenvolver uma importante estratégia de posicionamentos, de idéias, de conhecimentos, de atitudes, de confiabilidade e de práticas educativas, onde neste sentido (Inhelder, 1996) menciona: "... neste enfoque complementar, o papel do professor é prover argumentos suficientemente consistentes para que o aluno aceite negociar para obter melhores resultados ou diferentes soluções para a resolução do problema, ou seja, fazer mais para conhecer mais".

Em vista disso, apresentar a negociação dentro do enfoque da Educação Matemática é promover a valorização do professor neste processo de mudança no contexto educacional, e através de seus novos papéis dentro desta inquietante procura de melhoria do ensino-aprendizagem da matemática, construir mecanismo para fazer a diferença em suas ações e promover melhorias nas condições do ensino de forma contextualizada, inteligente, criativa e atraente, estabelecendo relação entre a Matemática e o mundo fora dela, desenvolvendo habilidades para aplicar os conceitos matemáticos para solucionar problemas e visualizar a aplicabilidade da Matemática escolar na sua vida profissional como também no meio social e político em que vive. E, também, por que não, contribuir no entendimento e na qualidade do ensino-aprendizagem da matemática em nossas escolas e na conexão entre a Matemática escolar e a Matemática presente em situações do cotidiano.

matemática: Origem, Características e Perspectivas

A Educação Matemática vem ganhando cada vez mais espaço nas discussões acadêmicas e profissionais do ensino. Em alguns países, como, por exemplo, na França, o termo Educação Matemática se opõe ao termo Didática da Matemática. Nesses países a diferença entre eles está na abrangência. Como nos afirma GODINO (2003) a Educação Matemática é mais ampla, é vista como uma área geral, enquanto podemos caracterizar a Didática da Matemática como um campo científico. RICO, SIERRA & CASTRO (2000 apud GODINO 2003), consideram a Educação Matemática como todo o sistema de conhecimentos, intuições, planos de formação e finalidades formativas que conformam uma atividade social complexa e diversificada relativa ao ensino e aprendizagem da Matemática. Por outro lado, caracterizam a Didática da Matemática como a disciplina que estuda e investiga os problemas surgidos na Educação Matemática propondo ações fundadas em teorias que garantam transformações.

Segundo D’AMBRÓSIO (2004), somente “(...) a partir das grandes Revoluções da Modernidade, a Revolução Industrial (1767), a Revolução Americana (1776) e a Revolução Francesa (1789), as preocupações com a Educação Matemática da juventude começam a tomar um rumo próprio” (p. 13). Até então, falar sobre o ensino de Matemática era competência dos matemáticos inseridos nas Universidades. No final do século XIX, com a necessidade imperativa de formar uma grande quantidade de professores qualificados para atender à demanda dos sistemas escolares difundidos, as Universidades começam a ampliar seus programas de formação de professores. A Educação Matemática como um campo de estudo, então, tem sua origem. A identificação da Educação Matemática como uma área de extrema importância na educação ocorre, pois, na transição do século XIX para o século XX. “A consolidação da Educação Matemática com uma subárea da Matemática e da Educação, de natureza interdisciplinar, se dá com a fundação, durante o Congresso Internacional de Matemáticos, realizado em Roma, em 1908, da Comissão Internacional de Instrução Matemática, conhecida pelas siglas IMUK / ICMI, sob liderança de Felix Klein” (p. 15).

O grande desenvolvimento da Educação Matemática, entretanto, veio após a Segunda Guerra Mundial (1939-1945) quando ocorreu uma efervescência da educação em todo cenário mundial. É nessa época, nos anos 50 e 60, que a pesquisa em Educação Matemática dá um salto significativo com o surgimento da Matemática Moderna. Esse movimento foi motivado pela Guerra Fria, uma guerra sem armas entre a extinta União Soviética e os Estados Unidos como resposta à constatação a partir da Segunda Guerra Mundial de uma considerável defasagem entre progresso científico-tecnológico e o currículo escolar vigente. Surgiram, então, vários grupos de pesquisa envolvendo matemáticos, educadores e psicólogos com o objetivo de reformular o currículo escolar. O mais influente deles nos Estados Unidos foi o School Mathematics Study Group, que se fez notável pela publicação de livros didáticos e disseminação do ideal modernista para outros países. É a partir desse período que surgem os primeiros programas específicos de Mestrado e Doutorado em Educação Matemática.

Nas décadas posteriores o número de projetos na área cresceu muito e, assim, foi criado em 1963 um centro de referência na área, o International Clearinghouse on Science and Mathematics Curricular Development sob a direção de J. David Lockard. O primeiro Congresso Internacional em Educação Matemática (ICME) foi realizado em 1969 em Lyon França. O segundo ICME realizou-se em Exter em 1972, e desde então a cada quatro anos pesquisadores em Educação Matemática de todo o mundo se reúnem para discutir e trocar suas experiências sob a organização do ICMI. Começa a surgir, então, um conjunto suficiente de condições propícias para a eclosão da comunidade de investigação em Educação Matemática.

O surgimento da Educação Matemática no Brasil teve início a partir do Movimento da Matemática Moderna disseminado em várias partes do mundo, mais precisamente no final dos anos 70 e início dos 80. Em meado dos anos 80 surge a Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) e os primeiros programas de pós-graduação em Educação Matemática.

Podemos conceber a Educação Matemática como um movimento que ocorre a partir da Universidade e é desencadeado e aprofundado com a criação de sistemas educacionais que evidenciam a formação de profissionais (KILPATRICK, 1998). Segundo estudiosos existem dois objetivos básicos nas pesquisas em Educação Matemática. O primeiro, de natureza pragmática, visa melhorar a qualidade do ensino-aprendizagem dos conteúdos matemáticos. O segundo, de natureza científica, visa desenvolver a Educação Matemática enquanto campo de investigação e produção de conhecimentos.

Tomando por base o estudo de KILPATRICK (1992), podemos destacar três determinantes para o surgimento da Educação Matemática enquanto campo profissional e científico. O primeiro é atribuído à preocupação dos próprios matemáticos e de professores de Matemática sobre a qualidade da divulgação e socialização das idéias matemática às novas gerações. Essa preocupação dizia respeito tanto à melhoria de suas aulas quanto à iniciativa das universidades européias, no final do século XIX, em promover formalmente a formação de professores secundários. Isso contribuiu para o surgimento de especialistas universitários em ensino de Matemática. O terceiro fato diz respeito aos estudos experimentais realizados por psicólogos americanos e europeus, desde o início do século XX, sobre o modo como as crianças aprendiam a Matemática.

Como podemos perceber a Educação Matemática como campo profissional e domínio acadêmico constituiu-se a partir de duas áreas no âmbito da academia que se encontram nas práticas escolares como ensino e aprendizagem da Matemática, por ele se interessam e dele se ocupam: a Matemática e a Psicologia (KILPATRICK, 1998). Podemos dizer que os profissionais da área da Matemática se preocupam com o ensino, enquanto os da Psicologia com a aprendizagem. A apropriação das discussões da Educação Matemática por esses dois campos de estudo desde sua origem resulta em preocupações e ações relacionadas aos métodos e técnicas de ensino, formação de professores, organização curricular, aproveitamento escolar e práticas de avaliação de aprendizagem.

Há alguns anos estudiosos tem se envolvido na procura de uma identidade para a comunidade de Educação Matemática. Sabemos, entretanto, que ainda não é claro e consensual o que constitui e delimita esse campo, bem como os aspectos relacionados à sua interdependência com outros campos. Podemos dizer sucintamente, portanto, que o objeto de estudo da Educação Matemática está na relação entre ensino, aprendizagem e conhecimento matemático. Na tentativa de caracterizar a Educação Matemática, veremos algumas discussões realizadas por autores envolvidos na área.

RICO, SIERRA & CASTRO (2000 apud GODINO 2003) entendem por Educação Matemática um conjunto de idéias, conhecimentos, processos, atitudes e, em geral de atividades implicadas na construção, representação, transmissão e valorização do conhecimento matemático que são realizados intencionalmente, como ocorre nas escolas. RICO & SIERRA (2000) apontam três sentidos da Educação Matemática:

“Educação matemática como conjunto de conhecimento, artes, destrezas, linguagens, convenções, atitudes e valores centrados na Matemática e que são transmitidos por meio do sistema escolar; Educação Matemática como atividade social que é praticada em determinadas instituições e levada a cabo por profissionais qualificados; e Educação Matemática como disciplina científica (Didática da Matemática em alguns países) com o objetivo de delimitar e estudar os problemas que surgem durante os processos de organização, comunicação, transmissão, construção e valorização do conhecimento matemático”. (p.81)

PONTE (1999) caracteriza a Educação Matemática como um campo misto onde se entrecruzam as lógicas profissionais e de investigação. Como campo de investigação seu papel é formular e analisar os problemas do ensino e da aprendizagem em Matemática proporcionando conceitos, estratégias e instrumentos que podem ser relevantes para quem atua no campo profissional, para administração educativa e para todos aqueles que se interessam pelo problema do ensino.

CRUZ (1998, apud RICO & SIERRA), por sua vez, caracteriza a Educação Matemática como prática e área de investigação que surge da necessidade de produzir resultados práticos que ajudem a melhorar o ensino e aprendizagem como um corpo de conhecimento e produzir um corpo de conhecimento que explique a natureza dos fenômenos que ocorrem no ensino e aprendizagem da Matemática.

GARNICA (1999) assume Educação matemática como um movimento, um conjunto de práticas sociais dentre as quais está, obviamente, a prática científica. O autor ressalta que não devemos conceber a Educação Matemática unicamente como prática científica. Ele ainda nos lembra que:

“(...) assumir Educação Matemática como “movimento” implica aceitar que, desde o primeiro instante em que se decidiu ensinar a alguém alguma coisa chamada “Matemática”, uma ação de Educação Matemática começou a se manifestar. Estando a instituição “Universidade” imersa no mundo, esse “movimento” inscreve-se, também, posteriormente, na prática da pesquisa acadêmica formal. (...) Assumir a Educação Matemática como “movimento” implica não em desqualificar sua vertente prática e, até mesmo, radicalizando, sua vertente “meramente” prática. Pretende-se, porém, uma prática que demande necessariamente, reflexão. Não a mera reflexão teórica fundante supostamente “auto-suficiente”, mas uma reflexão que, sugerida pela prática, visa a uma efetiva intervenção na ação pedagógica” (p. 60-61)

A Educação Matemática é mais complexa do que aparenta, é uma confluência de múltiplos saberes. Campos científicos como Sociologia, Filosofia, Lingüística, Epistemologia, Antropologia, Psicologia, Matemática e Pedagogia estão intimamente relacionados com a Educação Matemática. A própria origem do campo Educação Matemática, assim como a natureza do assunto e de seus problemas, evidencia e justifica sua interdisciplinaridade (STEINER, 1993). A Educação Matemática, por um lado, pode desfrutar de uma riqueza de metodologia e perspectivas sobre um mesmo fenômeno, por outro, a diversidade conduz por vezes a uma identidade difusa, a uma autonomia questionável e a um espaço próprio de delimitar. Para dar conta dos diferentes aspectos que caracterizam a diversa e complexa prática social da Educação Matemática suas pesquisas vêm adotando diversas matrizes teóricas.

A Matemática toma parte da elaboração da Educação Matemática ao se preocupar com o conteúdo e estrutura do saber científico a ser ensinado. A Psicologia, como discutido anteriormente, trata do desenvolvimento do indivíduo e dos processos de ensino e aprendizagem Matemática. A Lingüística pode ajudar na compreensão da natureza de certas dificuldades de aprendizagem. A Pedagogia colabora ao analisar as relações entre ensino e aprendizagem na escola. A Sociologia delineia a interdependência entre ciência e sociedade e nos lembra que a Matemática em si, tal como outras ciências, não é uma atividade humana independente de valores, aspectos éticos e políticos da Educação Matemática (STEINER, 1993). A Filosofia se insere na reflexão sobre os problemas relacionados à Educação Matemática. A História e a Epistemologia explicam a gênese a construção do conhecimento científico. Enquanto a Epistemologia nos leva a uma reflexão profunda dos pressupostos com os quais trabalhamos e coloca a produção de significados no núcleo das atividades mantidas nas escolas (LINS, 1999), a História e sua amplitude extrapola o campo da motivação e engloba elementos cujas naturezas estão voltadas a uma interligação entre o conteúdo e sua atividade educacional (BARONI & NOBRE, 1999).

Com a fomentação das discussões na área, alguns pesquisadores trataram de encontrar significados para a Educação Matemática elucidando a sua relação com outras áreas do conhecimento.

STEINER (1990, apud GODINO 2003) define Educação Matemática como “um campo com domínios de referência e ação caracterizados por extrema complexidade” ao admitir uma interpretação da Educação Matemática como uma disciplina científica e como sistema social interativo que compreende teoria, desenvolvimento e prática. STEINER representa, mediante um diagrama, a Educação Matemática relacionada com outro sistema social complexo chamado por ele de Educação Matemática e Ensino e tratado aqui como Sistemas do Ensino de Matemática. O diagrama apresenta as ciências relacionadas à Educação Matemática em um primeiro nível e exterior a ele situa todo o sistema social relacionado com a comunicação da matemática, suas novas áreas de interesse e as inter-relações entre Educação Matemática e a Educação em Ciências Experimentais. A atividade da Teorização da Educação Matemática é vista no modelo de STEINER como um componente da disciplina. Observe o modelo:

HIGGINSON (1980, apud GODINO, 2003) propõe um outro modelo de relação entre a Educação Matemática e outras disciplinas e considera quatro disciplinas fundamentais da Educação Matemática: a Matemática que responde o que ensinar, a Psicologia que explica quando e como ensinar, a Sociologia que mostra a quem e onde ensinar e a Filosofia que pretende entender o porquê ensinar. O autor enxerga a Educação Matemática como uma interação entre os quatro diferentes elementos do tetraedro, ou seja, as disciplinas fundamentais, observe:

GONZALES (1992), por sua vez, defende uma característica autônoma ligada a uma disciplina específica, no caso a Matemática. Esse autor elabora um diagrama e coloca a Matemática, a Psicologia e a Pedagogia como disciplinas de maior influência em Didática da Matemática que Antropologia, Sociologia e Epistemologia:

 

GODINO e BATANERO (1998) elaboraram um modelo que visualiza a Educação Matemática como a interação entre oito faces de um tronco de octaedro, uma confluência de múltiplos saberes. Observe o modelo:

Embora com diferentes interpretações, todos os autores elucidam a complexidade inerente à Educação Matemática. Apesar dela estar na interação de vários campos científicos, ela tem seus próprios problemas e questões de estudo, não podendo ser vista como aplicação particular desses campos. É importante ressaltar que não podemos apenas nos apropriar das teorias desenvolvidas nas disciplinas que se inter-relacionam com a Educação Matemática e usá-las da maneira em que chegam às nossas mãos. Como nos lembra STEINER (1993), devemos ser capazes de formular exigências internas às disciplinas cooperantes, temos que dizer o que queremos delas a partir do nosso espaço. BICUDO (1999) apresenta um exemplo na filosofia da complementaridade necessária nas interações:

“A Filosofia da Educação Matemática não se confunde com a Filosofia da Matemática, nem com a da Educação. Da primeira, ela se distingue por não ter por meta o tema da realidade dos objetos matemáticos, o da sua construção e o da construção do seu conhecimento. Da segunda, por não trabalhar com assuntos específicos e próprios à mesma, como por exemplo, fins e objetivos da Educação, natureza do ensino, natureza da aprendizagem, natureza da escola e dos currículos escolares. Porém, embora distinguindo-se de ambas, a filosofia da Educação Matemática se nutre dos seus estudos, aprofunda temas específicos que podem ser detectados na interface que com elas mantém, alimentando-as com suas próprias pesquisas e reflexões, ao mesmo tempo em que delas se alimenta.” (p.26-27)

A Matemática é geralmente considerada como uma ciência à parte, desligada da realidade, vivendo na penumbra do gabinete (CARAÇA, 1970). STEINER (1993) justifica a complexidade da Educação Matemática ressaltando como função da Educação Matemática a ligação entre a Matemática e a Sociedade e discutindo a sua responsabilidade pela elaboração e atualização das dimensões negligenciadas pela Matemática: a filosófica, a histórica, a humana, a social e – abrangendo todas essas – a dimensão didática. GODINO (2003) nos lembra ainda que o matemático ou o educador matemático que reflete sobre os processos de construção e comunicação do conhecimento se vê obrigado a praticar o ofício de epistemólogo, psicólogo, sociólogo...

A complexidade da Educação Matemática reflete diretamente nas pesquisas da área ampliando as possibilidades de investigação em Educação Matemática. KILPATRICK (1998, 1998) aponta uma variedade de temáticas de investigação e rumos da Educação Matemática. São elas: processo de ensino/aprendizagem de Matemática, currículos, emprego de tecnologia no ensino de Matemática, teorias da comunicação, prática docente, desenvolvimento profissional de professores, semiótica, práticas de avaliação, antropologia e contexto sócio-cultural e político do ensino aprendizagem de Matemática.

Tendo em vista a interdisciplinaridade da Educação Matemática, faz-se necessária a formação de profissionais da área altamente qualificados não só para a investigação acadêmica desse campo de estudo, como é claro, para a execução do papel social que esta profissão traz consigo.  MIGUEL (2005) vê na complexidade da Educação Matemática uma preciosa ferramenta para a formação de professores:

“(...) os campos emergentes de investigação em História, Filosofia e Sociologia da Educação Matemática poderiam vir a participar, de forma crítica e qualificadora, da formação inicial e continuada de professores de Matemática. Defendemos o ponto de vista de que tais cursos deveriam orientar-se por uma nova concepção de especificidade que pudesse instaurar um projeto pedagógico em que esses campos emergentes viessem a participar, de forma orgânica e esclarecedora, da constituição de problematizações multidimensionais das práticas escolares nas quais a Matemática estivesse, de algum modo, envolvida. Para isso, tais problematizações deveriam estar assentadas em investigações acadêmicas sobre questões que hoje desafiam os professores no trabalho crítico de apropriação, re-significação, produção e transmissão da cultura matemática sob os condicionamentos da instituição escolar”. (p. 2)

Conhecer para refletir e atuar é uma das atitudes que devemos integrar na prática, e a investigação em Educação Matemática pode dar uma rica contribuição. Entretanto, os investigadores dessa área não podem, à semelhança dos matemáticos, transformar-se numa comunidade isolada, elitista e afastada da realidade (afirmações como essa podem soar gratuitas. É interessante afirmar o que uma área é sem precisar desqualificar outra ou apoiado em uma crítica que  generaliza algo que somente parte da comunidade acredita ou se comporta assim. Além disso as áreas têm naturezas e objeto de investigação diferentes e o que vale para uma não vale para outra. Lembre que as vezes, equivocadamente, somos alvos desse mesmo tipo de crítica à semelhança dos matemáticos, transformar-se numa comunidade isolada, elitista e afastada da realidade(afirmações como essa podem soar gratuitas. É interessante afirmar o que uma área é sem precisar desqualificar outra ou apoiado em uma crítica que  generaliza algo que somente parte da comunidade acredita ou se comporta assim. Além disso as áreas têm naturezas e objeto de investigação diferentes e o que vale para uma não vale para outra.

Lembre que às vezes, equivocadamente, somos alvos desse mesmo tipo de crítica, , à semelhança dos matemáticos, transformar-se numa comunidade isolada, elitista e afastada da realidade(afirmações como essa podem soar gratuitas. É interessante afirmar o que uma área é sem precisar desqualificar outra ou apoiado em uma crítica que  generaliza algo que somente parte da comunidade acredita ou se comporta assim. Além disso as áreas têm naturezas e objeto de investigação diferentes e o que vale para uma não vale para outra. Lembre que as vezes, equivocadamente, somos alvos desse mesmo tipo de crítica.

As pesquisas em Educação Matemática devem levar em consideração não só as exigências de natureza científica ou epistemológica, como também as exigências do campo em que se desenvolve e sobre o qual incide a escola. Ou seja, podemos dizer que uma boa investigação deve ter um caráter sistemático e intencional, deve ser teoricamente sustentada e os seus métodos e resultados publicamente verificáveis e criticados. Para aumentar a credibilidade das pesquisas da área, é essencial que suas perspectivas e resultados se tornem audíveis, pois, caso contrário, as investigações correm o risco de parecerem desnecessárias.

Para finalizar, fica aqui uma definição de Educação Matemática elaborada por KILPATRICK (1996) que elucida tudo o que foi abordado na presente discussão:

“Educação Matemática é uma matéria universitária e uma profissão. É um campo de academicismo, pesquisa e prática. Mais do que meramente artesanato ou tecnologia, ela tem aspectos de arte e ciência” (p.119)

A MATEMÁTICA E O PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM

A matemática fornece instrumentos eficazes para compreender e atuar no mundo que nos cerca; ela é uma ferramenta essencial na solução de vários tipos de problemas. Nela são desenvolvidas estruturas abstratas baseadas em modelos concretos; além de método, a matemática é um meio de comunicação – uma linguagem formal e precisa – requer uma prática constante de forma clara e universal. O conhecimento matemático faz parte do patrimônio cultural da humanidade porque possui características e procedimentos próprios que também tem evoluído no contexto de outras ciências.

A matemática é componente importante na construção da cidadania, nos conhecimentos científicos e recursos tecnológicos, e o seu ensino deve ser meta prioritária do trabalho docente, procurando desenvolver nos alunos competências para compreender e transformar a realidade. No ensino da matemática destacam-se aspectos básicos como relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas, figuras) e essas representações devem relacionar-se com princípios e conceitos matemáticos, através da “fala” e da “escrita”. A aprendizagem em matemática está ligada à compreensão, isto é, à apreensão do significado; resultante das conexões entre todas as disciplinas com o cotidiano nos seus diferentes temas.

Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores outros materiais tem um papel importante no processo ensino-aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão, em última instância, a base da atividade matemática.

A avaliação é parte integrante do processo de ensino-aprendizagem, ela incide sobre uma grande variedade de aspectos relativos ao desempenho dos alunos como aquisição de conceitos, domínio de procedimentos e desenvolvimento de atitudes.

POR QUE ENSINAR MATEMÁTICA?

A matemática vista como uma maneira de pensar, como um processo em permanente evolução (não sendo algo pronto e acabado que apenas deve ser estudado), permite, dinamicamente, por parte do aluno, a construção e a apropriação do conhecimento. Ensinar matemática é importante porque ela está presente em tudo o que nos rodeia, com maior ou menor complexidade. Perceber isso é compreender o mundo em nossa volta e poder atuar nele como cidadão, em casa, na rua, nas várias profissões, na cidade, no campo, nas várias culturas o ser humano necessita da matemática.

Em uma sociedade voltada ao conhecimento e à comunicação, como a do terceiro milênio, é preciso que as crianças aprendam comunicar idéias, executar procedimentos e desenvolver atitudes matemáticas, falando dramatizando, escrevendo, desenhando, representando, construindo tabelas, diagramas e gráficos, fazendo pequenas estimativas, conjecturas e inferências lógicas, etc., tudo isso trabalhando individualmente, em duplas ou pequenas equipes, colocando o que pensam e respeitando o pensamento dos colegas. Novas competências demandam novos conhecimentos; o mundo do trabalho requer pessoas preparadas para utilizar diferentes tecnologias, e linguagens (que vão além da comunicação oral e escrita), instalando novos ritmos de produção, de assimilação rápida de informações, resolvendo e propondo problemas em equipe.

O ensino da matemática desenvolve no aluno a compreensão dos fenômenos que ocorrem no ambiente – poluição, desmatamento, limites para uso dos recursos naturais, desperdício – terá ferramentas essenciais em conceitos (medidas, áreas, volumes, proporcionalidade, etc.) e procedimentos matemáticos (formulação de hipóteses, realização de cálculos, coleta, organização e interpretação de dados estatísticos, prática de argumentação, etc.). O acompanhamento do próprio desenvolvimento físico (altura, peso, musculatura) e os estudos dos elementos que compõem a dieta básica são alguns exemplos de trabalho que podem servir de contexto para se ensinar matemática.

O ENSINO DE MATEMÁTICA DEVE LEVAR O ALUNO A:

▼Adotar uma atitude positiva em relação à matemática, ou seja, desenvolver sua capacidade de “fazer matemática” construindo conceitos e procedimentos, formulando e resolvendo problemas por si mesmo, assim aumentar sua auto-estima e perseverança na busca de solução para um problema;

▼Perceber que os conceitos e procedimentos matemáticos são úteis para compreender o mundo e, compreendendo-o, pode atuar melhor nele;

▼Pensar logicamente, relacionando idéias, descobrindo regularidade e padrões, estimulando sua curiosidade, seu espírito de investigação e sua criatividade na solução de problemas;

▼Observar sistematicamente a presença da matemática no dia-a-dia (quantidades, números, formas geométricas, simétricas, grandezas e medidas, tabelas e gráficos, previsões etc.)

▼Formular e resolver situações-problema. Para isso, o aluno deverá ser capaz de elaborar planos e estratégias para a solução do problema, desenvolvendo várias formas de raciocínio (estimativa, analogia, indução, busca de padrão ou regularidade, pequenas inferências lógicas, etc.) executando esses planos e essas estratégias com procedimentos adequados;

▼Interagir os vários eixos temáticos da matemática (números e operações, geometria, grandezas e medidas, raciocínio combinatório, estatística e probabilidade) entre si e com outras áreas do conhecimento;

▼Comunicar-se de modo matemático, argumentando, escrevendo e representando de várias maneiras (com números, tabelas, gráficos, diagramas, etc.) as idéias matemáticas;

▼Interagir com os colegas cooperativamente, em dupla ou em equipe, auxiliando-os e aprendendo com eles, apresentando suas idéias e respeitando as deles, formando assim, um ambiente propício à aprendizagem.

▼Desenvolver competências para aprender a identificar e buscar os conhecimentos necessários para resolver uma situação-problema.

QUAIS HABILIDADES E COMPETÊNCIAS DEVEM SER DESENVOLVIDAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA?

1-       O pensamento numérico: ampliando e construindo novos significados para os números e as operações; resolvendo situações-problema, as quais envolvam os vários tipos de números e operações; identificando e utilizando diferentes representações para esses números; utilizando vários procedimentos de cálculos: mental, estimativas, arredondamentos e algoritmos.

2-       O pensamento algébrico: procurando generalizar propriedades das operações aritméticas, traduzindo situações-problema na linguagem matemática; generalizando regularidades; traduzindo tabelas e gráficos em leis matemáticas que relacionem duas variáveis dependentes; interpretando expressões algébricas, igualdades e desigualdades e resolvendo equações, inequações e sistemas.

3-       O pensamento geométrico: trabalhando primeiro as figuras espaciais ou tridimensionais, depois as figuras planas ou bidimensionais e, em seguida, os contornos de figuras planas ou unidimensionais; classificando essas figuras, observando semelhanças e diferenças entre elas; construindo representações planas das figuras espaciais sob diferentes pontos de vista; compondo, decompondo, ampliando e reduzindo figuras geométricas planas; localizando pontos no plano cartesiano; verificando o que varia e o que não varia em uma transformação geométrica levando os conceitos de congruência e semelhança; trabalhando inicialmente de modo experimental (geometria experimental) para, pouco a pouco, apresentar pequenas demonstrações (geometria dedutiva);

4-     O raciocínio proporcional: observando a variação entre grandezas e estabelecendo relações entre elas; resolvendo situações-problema, as quais envolvam proporcionalidade; representando a variação entre duas grandezas em um plano cartesiano e identificando se elas são direta ou inversamente proporcionais ou se não são proporcionais.

5-       O raciocínio combinatório: analisando quais e quantas são as possibilidades de algo ocorrer e resolvendo situações que envolvam a idéia de possibilidades.

6-     O raciocínio estatístico e probabilístico: coletando, organizando e analisando informações; elaborando tabelas, construindo e interpretando gráficos; desenvolvendo a idéia de chance e de sua medida (probabilidade); resolvendo situações-problema, as quais envolvem dados estatísticos e conceito de probabilidades.

7-       A competência métrica: ampliando e aprofundando o conceito de medida de uma grandeza; utilizando unidades adequadas de medidas em cada situação e resolvendo situações-problema, as quais envolvam grandezas e medidas; utilizando vários instrumentos de medidas.

8-     As conexões e integração dos conceitos matemáticos estudados em cada eixo temático: (números e operações, geometria, grandezas e medidas, raciocínio combinatório, estatística e probabilidade) e investigar sua presenças em outras áreas do conhecimento.

9-       A atitude positiva em relação à matemática: valorizando sua utilidade, sua lógica e sua beleza em cada conceito estudado.

10- A comunicação: a comunicação das idéias matemáticas de diferentes formas: oral, escrita, por tabelas, diagramas, gráficos, etc.

METODOLOGIAS UTILIZADAS PARA ENSINAR MATEMÁTICA

▼Trabalhar as idéias, os conceitos matemáticos intuitivamente antes da simbologia, antes da linguagem matemática. Ex: Uma equipe de 5 alunos está reunida para fazer um trabalho da escola. Eles vão se cumprimentar com um aperto de mão? Qual é o total de apertos de mão? Essa situação-problema permite explorar várias estratégias: dramatizar (representando concretamente a situação), elaborar um diagrama, elaborar uma tabela organizada ou utilizar o raciocínio combinatório.

▼Aprender por compreensão. O aluno deve atribuir significado ao que aprende. Para isso, deve saber “o porquê” das coisas e não simplesmente mecanizar procedimentos e regras.

▼Estimular o aluno para que pense, raciocine, crie, relacione idéias descubra e tenha autonomia de pensamento, através de desafios, jogos, quebra-cabeças, problemas curiosos, etc.

▼Trabalhar o conteúdo com significado, levando o aluno a sentir que é importante saber o que está sendo ensinado, para sua vida em sociedade ou que o conteúdo trabalhado lhe será útil para entender o mundo em que vive. Por exemplo, ao usar a idéia de proporcionalidade para resolver problemas do cotidiano; ao trabalhar com escalas para interpretar um mapa; ao resolver um problema de porcentagem; ao relacionar sólidos geométricos com embalagens.

▼Valorizar a experiência acumulada pelo aluno dentro e fora da escola;

▼Considerar mais o processo do que o produto da aprendizagem, “aprender a aprender”;

▼Compreender a aprendizagem da matemática como um processo ativo. Os alunos são pessoas que observam, constroem, modificam e relacionam idéias, interagindo com outras pessoas, com materiais diversos e com o mundo físico;

▼Utilizar jogos, pois eles envolvem a compreensão e aceitação de regras pelos alunos; promovendo o desenvolvimento sócio-afetivo e cognitivo; desenvolvem autonomia, o pensamento lógico; motivando no pensamento para usar os conhecimentos prévios;

▼Enfatizar igualmente os grandes eixos temáticos – números e operações, álgebra, espaço e forma (geometria), grandezas e medidas e tratamento da informação (estatística e probabilidade) e, de preferência trabalhá-los de modo integrado. Por ex: Quando o aluno mede o comprimento ou largura da sua sala de aula com um metro, está observando as dimensões de uma forma geométrica retangular, utilizando o metro como unidade de medida, obtendo um número como medida, naquela unidade (comprimento, área);

▼Trabalhar temas transversais (ética, orientação sexual, meio ambiente, saúde, pluralidade cultural, trabalho e consumo) de modo integrado com as atividades de Matemática, por meio de situações-problema;

COMO DEVE OCORRER O PROCESSO AVALIATIVO NO ENSINO DA MATEMÁTICA?

 

A avaliação é um instrumento fundamental para fornecer informações sobre como está se realizando o processo ensino-aprendizagem como um todo – tanto para o professor e a equipe escolar conhecerem e analisarem os resultados de seu trabalho como para o aluno verificar seu desempenho – e não simplesmente focalizar o aluno, seu desempenho cognitivo e acumulo de conteúdos, para classificá-lo em “aprovado” ou “reprovado”.

Além disso, ela deve ser essencialmente formativa, na medida em que cabe à avaliação subsidiar o trabalho pedagógico, redirecionando o processo ensino-aprendizagem para sanar dificuldades, aperfeiçoando-o constantemente. Tendo em vista a diversidade de ritmos e processos de aprendizagem dos alunos, um dos aspectos importantes da ação docente deve ser a organização de atividades cujo nível de abordagem seja diferenciado. Isso significa criar situações, apresentar problemas ou perguntas e propor atividades que demandem diferentes níveis de raciocínio e de realização.

A avaliação vista como um diagnóstico contínuo e dinâmico torna-se um instrumento fundamental para repensar e reformular os métodos, os procedimentos e as estratégias de ensino, para que realmente o aluno aprenda.

Nessa perspectiva, a avaliação deixa de ter o caráter “classificatório” de simplesmente aferir acumulo de conhecimento para promover ou reter o aluno. Ela deve ser entendida pelo professor como processo de acompanhamento e compreensão dos avanços, dos limites e das dificuldades dos alunos para atingirem os objetivos da atividade de que participam.

Assim, o objetivo da avaliação é diagnosticar como está se dando o processo ensino-aprendizagem e coletar informações para corrigir possíveis distorções observadas nele. Por ex: Se os resultados da avaliação não foram satisfatórios, é preciso buscar as causas. Pode ser que os objetivos foram superdimensionados ou que o problema esteja no conteúdo, na metodologia de ensino, nos materiais instrucionais, na própria forma de avaliar ou em algum outro aspecto. O importante é determinar os fatores do insucesso e reorientar as ações para sanar ou minimizar as causas e promover a aprendizagem do aluno. É preciso avaliar para identificar os problemas e os avanços, e para redimensionar a ação educativa, visando o sucesso escolar.

▼Para a avaliação, podem ser utilizados vários tipos de instrumentos, como:

 

1-Observação e registro – esse processo permite o acompanhamento das atividades, no dia-a-dia dos alunos, é muito valioso porque dá oportunidade de participação, nas quais o aluno pergunta, emite opiniões, levanta hipóteses, constrói novos conceitos e busca novas informações;

2-Provas testes e trabalhos – esse processo não deve ser utilizado como punição ou apenas para ajuizar valores. Sua formulação deve se fundamentar em questões de compreensão e raciocínio, e não de memorização ou mecanização;

3-Entrevistas e conversas formais – auto-avaliação – no qual o aluno deverá expressar-se com escrita ou oralmente o que mais gostou ou o que menos gostou, se teve dificuldade ou facilidade no conteúdo ensinado.

4-Fichas avaliativas – nas fichas poderão constar aspectos cognitivos, dificuldades de aprendizagem, providências tomadas para sanar as dificuldades, bem como os aspetos gerais, afetivos, de socialização e organização e atitudes.

5-Como lidar com o erro dos alunos, como recuperá-lo?

Muito se aprende por tentativas e erros, idas e vindas, por aproximações sucessivas e aperfeiçoamentos. Por isso, os “erros” cometidos pelo aluno devem ser vistos naturalmente como parte do processo ensino-aprendizagem. Na maioria das vezes, é possível usá-los para promover a aprendizagem mais significativa. Para isso, é fundamental que o professor analise o tipo de “erro” cometido pelo aluno. Ao fazer isso, poderá perceber quais foram, de fato, as dificuldades apresentadas e, assim reorientar sua ação pedagógica com mais eficácia para saná-las. Cada “erro” tem sua lógica e dá ao professor indicações sobre como está se dando o processo de aprendizado de cada aluno.

Por exemplo: São frequentes os erros na execução do algoritmo da subtração. Ao fazer 135 – 68, o aluno erra porque não coloca os algarismos das unidades ou das dezenas em correspondência aos mesmos algarismos do outro número, ao armar o algoritmo; ou porque subtrai 5 de 8 e 3 de 6 , pensando em uma orientação geral que recebeu: “subtrai sempre o menor do maior”; ou porque se equivocou nos cálculos; ou porque não compreendeu idéias associadas à subtração (tirar e comparar); ou porque se distraiu, etc.

O ato de mostrar ao aluno onde, como e por que ele cometeu o erro o ajuda a superar lacunas de aprendizagem e equívocos de entendimentos.

Com o repertório de todos os erros mais frequentes cometidos pelos alunos, o professor, ao trabalhar aquele assunto, saberá chamar atenção para os pontos mais críticos e, como isso, diminuir a possibilidade de erro.

É interessante também que os alunos sejam levados a comparar suas respostas, seus acertos e erros com os dos colegas, a explicar como pensaram e a entender como os outros colegas resolveram a mesma situação.

Mesmo depois de todos os processos, se algum aluno não conseguiu entender um certo assunto, o ideal é mudar a metodologia, bater na mesma tecla é bobagem, mudando a maneira de explicar e de exemplificar, com certeza o aluno em defasagem conseguirá entender as orientações passadas.

Assim observa-se que para formar as competências necessárias para que se adquira conhecimento, o professor deve utilizar todos os recursos disponíveis e mais os que ele criar para que seja efetivada a aprendizagem. Para cumprir sua função, a escola precisa ter como foco um ensino e uma aprendizagem que levem o aluno a aprender a aprender, aprender a pensar, a saber, construir a sua própria linguagem e a se comunicar, a usar a informação e o conhecimento para ser capaz de viver num mundo em transformação. Para isso, é preciso que a formação e a atuação do educador seja necessariamente direcionada para um novo paradigma de educação.

As novas tecnologias, caracterizadas como mediáticas, são mais do que simples suportes. Elas interferem nos modos de pensar, sentir, agir, relacionar-se socialmente e adquirir conhecimentos e criam uma nova cultura e um novo modelo de sociedade. Essa nova sociedade, essencialmente diferente da sociedade industrial que a antecedeu, baseada na produção e no consumo de produtos iguais, em massa, caracteriza-se pela velocidade das alterações no universo informacional e na necessidade de permanente atualização do homem para acompanhar essas mudanças.

E a escola sofre os efeitos dessa transformação tecnológica precisa da adoção de uma nova postura educacional, na verdade a busca de um novo paradigma de educação que substitua o já desgastado ensino-aprendizagem, baseada numa relação obsoleta de causa-efeito, é essencial para o desenvolvimento de criatividade desinibida e conducente a novas formas de relações interculturais, proporcionando o espaço adequado para preservar a diversidade e eliminar a desigualdade numa nova organização da sociedade.

A democratização das escolas representa um grande desafio para todos os professores, principalmente para o professor de matemática, o acesso a todos os recursos tecnológicos representa um desafio para a sociedade atual e demanda esforços e mudanças nas esferas econômicas e educacionais. Para que todos possam ter informações e utilizar de modo confortável às novas tecnologias, é preciso um grande esforço educacional. Como as tecnologias estão permanentemente em mudança, a aprendizagem contínua é consequência natural do momento social e tecnológico que vivemos, a ponto de podermos chamar nossa sociedade de “sociedade de aprendizagem”.

A aprendizagem do ensino da matemática nas escolas, requer um grande esforço e necessita de um constante aperfeiçoamento por parte dos educadores. Para que a escola cumpra sua função de facilitar o acesso ao conhecimento é necessário promover o desenvolvimento de seus alunos. É necessário que todos os que estão envolvidos no processo trabalhem em sintonia, proporcionando o pleno desenvolvimento dos educandos.

Todas as atividades que realizamos com os alunos deverão servir de suporte para educar cidadãos mais capazes de usar seu raciocínio lógico realizar trabalhos coerentes, com senso crítico e analítico da realidade que o cerca. Pois entendemos que é na escola que preparamos o indivíduo para atuar no mundo, e é também nela, que o sujeito constrói a interação, onde práticas sociais acontecem.

O ensino de matemática faz parte do desenvolvimento humano, por isso o professor deve priorizar a construção do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno. O papel do professor é de facilitador, orientador, estimulador e incentivador da aprendizagem.

Ao introduzir um assunto matemático em sala de aula, o dever do professor é partir de onde o aluno já sabe para ajudá-lo a construir novos conhecimentos. Outro ponto importante é saber e levar o aluno a refletir “o porquê” de estar aprendendo aquele assunto e não perder de vista os objetivos a serem alcançados.

Para cada assunto há metodologias adequadas e se o aluno não conseguiu alcançar um aproveitamento satisfatório, então mudar a metodologia é ideal para facilitar a aprendizagem.

A avaliação nunca deve ser um objeto de punição ou classificatória, deverá sempre fazer dela um instrumento de trabalho com o intuito de diagnosticar a aprendizagem do aluno.

A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO DO CIDADÃO

 

A Matemática evidencia-se presente na vida de todo o ser humano, utiliza-se matemática inclusive nas tarefas mais simples do nosso dia-a-dia e por ser parte da vida de todos é que se pode afirmar que “[...] a matemática é eficaz para qualquer pessoa, fato que justificaria sua presença no currículo escolar de todo o cidadão [...]”. (FILOSOFIA DA..., 2006, p. 4).

Destaca-se então a abordagem do Ministério da Educação (1999, p.251):

Em seu papel formativo, a matemática contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de atitudes, cuja utilidade e alcance transcendem o âmbito da própria matemática, podendo formar no aluno a capacidade de resolver problemas genuínos, gerando hábitos de investigação, proporcionando confiança e desprendimento para analisar e enfrentar situações novas, propiciando a formação de uma visão ampla e científica da realidade, a percepção da beleza e da harmonia, o desenvolvimento da criatividade e de outras capacidades pessoais.

Como diz Sócrates, citado por Platão, “a matemática é algo fundamental para tratar o confuso da mente.” (PLATÃO, p. 280), e para “ampliar o conhecimento do aluno”. Em se tratando de uma ciência que prima pelo desenvolvimento do raciocínio e do aprimoramento intelectual do aluno, ela “ajuda a raciocinarmos melhor, servindo para exercitar a mente”, palavras de dois alunos. E ainda, “a matemática é importante para que no cotidiano possamos resolver todos os tipos de problemas”, além de permitir uma análise crítica sobre seu papel na melhoria da qualidade de vida, com inúmeras interpretações sobre o que representa a ciência para o bem-estar do ser humano

A Matemática proporciona ao aluno o acesso ao desenvolvimento de técnicas intelectuais, que o capacitam para enfrentar situações e problemas novos, para modelar adequadamente uma situação real para assim chegar a uma solução, conforme as palavras de D’Ambrosio (2004, p. 51) “isto é aprendizagem por excelência, isto é, capacidade de explicar, de aprender e compreender, de enfrentar criticamente situações novas”.

Quanto a este aspecto da contribuição da Matemática na formação do cidadão, a maioria dos educadores da atualidade considera que a matemática contribui de forma essencial, pois está em tudo, presente no dia-a-dia dos indivíduos e assim será por toda a vida. Podem-se destacar as palavras de D’Ambrosio (1986, p. 18), nas quais ele diz que: “não há dúvidas que o desenvolvimento de uma atitude matemática adequada será de grande valia para nosso futuro”. Essa afirmação vem ao encontro das ideias de Skovsmose (2004, p. 83), que diz: “as estruturas matemáticas vêm ter um papel social tão fundamental quanto o das estruturas ideológicas na organização da realidade”, pois essa disciplina quando bem trabalhada pela instituição escolar pode proporcionar aos discentes “desenvolver e exercitar o raciocínio lógico, sendo indispensável para toda a vida”. Encontrou-se um paralelismo entre estas palavras e o que o Ministério da Educação (1999, p.256) estabelece: “A matemática ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, além de ser uma ferramenta para tarefas específicas em quase todas as atividades humanas”.

Assim conclui-se que o ensino da Matemática evidencia-se no cotidiano, manifestando- se fortemente presente em suas atividades de relacionamento em sociedade, como por exemplo, a solução de problemas genuínos, como exige o mercado de trabalho. Assim como os educadores a apontam como uma ferramenta útil para ampliar o conhecimento, de modo que ajuda o aluno raciocinar.

Para os alunos a educação matemática torna-se uma prática imprescindível para a sua socialização enquanto indivíduos, pois os torna aptos a raciocinar rapidamente e de maneira lógica, alcançando assim status enquanto cidadão na sociedade vigente.

Na atualidade muitos teóricos e educadores demonstraram acreditarem na contribuição do ensino da matemática para a formação do cidadão. Porém, os educadores salientaram que para que isso se concretize na realidade escolar, é necessário que se encontre solução para a questão de como se trabalhar o ensino da matemática a partir de uma visão transformadora da sociedade e formadora de cidadãos.

Referência

BARONI, R. L. S. & NOBRE, S. A pesquisa em História da Matemática e suas relações com a Educação Matemática. In: BICUDO, M. A. V. (org.) Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999. (Seminários & Debates) p. 129 -136.

BICUDO, M. A. V. Filosofia da Educação Matemática: um enfoque fenomenológico. In: BICUDO, M. A. V. (org.) Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999, (Seminários & Debates) p. 21- 44.

CARAÇA, J. A. Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa: Sã da Costa, 1970.

D’AMBRÓSIO, U. Prefácio. In BORBA, M. C. & ARAÚJO, J. L. (orgs.) Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.

GARNICA, A. V. M. Filosofia da Educação Matemática: algumas re-significações e uma proposta de pesquisa.. In: BICUDO, M. A. V. (org.) Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999, (Seminários & Debates) p. 59 -74.

GODINO, J. Perspectiva de la Didática de lãs Matemática como disciplina científica. Un. Granada: Programa de doctorado “Teoria de la educación Matemática”, 2003.

GODINO, J. D. & BATANERO, C. (1998). Clarifying the meaning of mathematical objects as a priority area of research in mathematics education. In, A. SIERPINSKA, A. & KILPATRICK, J. (orgs.), Mathematics Education as a Research Domain: A Search for Identity (pp. 177-195). Dordrecht: Kluwer, A. P, 1998.

GONZALEZ, F. E. Agenda latinoamericana de investigación en educación matemática para el siglo XXI. Educación Matemática, 12 (1). México. 2000. pp. 107-128. GROUWS, D. A. Handbook of research on Mathematics teaching and learning. A project of National Council of Teachers of Mathematics. Macmillan Publishing Company. NewYork. 1992.

v  KILPATRICK, J. História de la investigacion en Educación Matemática. In KILPATRICK, J. & otros. Educación Matemática y investigación. Madrid: Editorial Sonteses, 1992.

v  KILPATRICK, J. Fincando estacas: uma tentativa de demarcar a Educação Matemática como campo profissional e científico. Campinas, SP: Zetetiké, vol. 4, nº 5, 1996.

v  KILPATRICK, J. Investigación em Educación Matemática: Su historia y algunos temas de actualidad. In GÓMEZ, P., KILPATRICK, J & RICO L. Errores y difucultades de los estudiantes... Bogotá: Guniversidade de los Andes, 1998.

v  LINS, R. C. Por que discutir teoria do conhecimento é relevante para a Educação Matemática. In: BICUDO, M. A. V. (org.) Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999 (Seminários & Debates), p. 75 -94.

v  MIGUEL, A. História, filosofia e sociologia da educação matemática na formação do professor: um programa de pesquisa. São Paulo: Educação e Pesquisa, vol. 31. nº 1,  2005

v  PONTE, J. P. Investigação em Educação Matemática. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional, 1998.

v  STEINER, H. G. Teoria da Educação Matemática (TEM): uma introdução. Lisboa: Quadrante: Revista Teórica e de Investigação. Vol. 2 (1), 1993.

v  RICO L. & SIERRA, M. Didáctica de la Matemática e investigación. In CARRILO J.  & CONTREAS, L. C. Matemática española en los albores del siglo XXI. Hergué: Ed. Andaluza, Huelva, 2000.